В предыдущей статье о выпуклых облигационных портфелях я указывал, что не все брокеры предоставляют в своих сборках терминала QUIK доступ к получению значений этого показателя.
Однако, при необходимости его нетрудно вычислить самостоятельно.
Формула для расчета выпуклости выглядит довольно громоздко, но логика у неё простая. Мы суммируем дисконтированные потоки платежей (купоны и номинал), взвешенные по времени.
Где:
C — выпуклость (Convexity).
P — текущщая рыночная цена облигации.
y — доходность к погашению (Yield to Maturity, YTM) за один период (например, за полгода, если купоны платятся раз в полгода).
t — порядковый номер периода, в котором приходит платеж (1, 2, 3, ... n).
CF_t — денежный поток (платеж) в период t. Это может быть купон или купон + номинал в конце срока.
n — общее количество периодов до погашения.
Разбор формулы по частям
Числитель: CF_t * t * (t+1) Это вес каждого платежа. Чем дальше во времени находится платеж, тем больше его вклад в выпуклость. Множитель t * (t+1 ) как раз и создает этот "изгиб" кривой.
Знаменатель: (1+y)^t Это стандартный дисконтирующий множитель. Он приводит будущую стоимость платежа к сегодняшним деньгам с учетом доходности y.
Внешний множитель: 1 / [P * (1+y)^2] Это нормировка. Мы делим сумму взвешенных платежей на цену облигации и квадрат доходности, чтобы получить итоговый коэффициент выпуклости.
Упрощенный пример расчета
Представим очень простую облигацию:
Срок: 2 года.
Купон: 100 рублей раз в год (10% от номинала в 1000 руб).
Номинал: 1000 руб.
Доходность к погашению (YTM): 10% (0.10).
Цена (P): 1000 руб.
Денежные потоки (CF):
Конец 1-го года: 100 руб (купон).
Конец 2-го года: 1100 руб (купон + номинал).
Как это использовать?
Если процентные ставки изменятся на Δy (например, на 1% или 0.01), то изменение цены облигации можно более точно оценить так:
Где первая часть (-D_mod * P * Δy) — это влияние дюрации, а вторая часть ((1/2) * C * P * (Δy)^2) — это положительное влияние выпуклости. Именно она дает тот самый "бонус" к доходности при сильных движениях ставок.